Calcul Matriceal și Sisteme de Ecuații Liniare

Permutări: noțiunea, inversiuni, semnul unei permutări

Permutări

O permutare a mulțimii $\{1,2,\ldots,n\}$ este o bijecție a acestei mulțimi pe ea însăși.

Numărul permutărilor de $n$ elemente este:

P_n=n!

Inversiuni

Pentru permutarea $\sigma$ , o inversiune este o pereche $(i,j)$ cu $i<j$ și $\sigma(i)>\sigma(j)$ .

Semnul unei permutări

Dacă $N$ este numărul inversiunilor, atunci:

\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^N

Permutarea este pară dacă $N$ este par și impară dacă $N$ este impar.

Matrice: definiție, mulțimi de matrice, operații (adunare, înmulțire, înmulțire cu scalar)

Matrice

O matrice cu $m$ linii și $n$ coloane este un tabel de numere:

A=(a_{ij})_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n}

Mulțimea matricelor cu $m$ linii și $n$ coloane peste $\mathbb{K}$ se notează $M_{m,n}(\mathbb{K})$ .

Adunarea

Pentru matrice de același tip:

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Înmulțirea cu scalar

(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}

Înmulțirea matricelor

Dacă $A\in M_{m,n}$ și $B\in M_{n,p}$ , atunci $AB\in M_{m,p}$ și:

(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

În general, înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Determinanți de ordin n. Proprietăți

Determinantul

Determinantul se definește pentru matrice pătratice. Pentru ordinul $2$ :

\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc

Pentru ordinul $3$ , se poate folosi regula lui Sarrus:

\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

Proprietăți

Dacă două linii sau două coloane sunt egale ori proporționale, determinantul este $0$ .

Schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului.

Înmulțirea unei linii cu $\lambda$ înmulțește determinantul cu $\lambda$ .

Pentru matrice pătratice:

\det(AB)=\det(A)\det(B)

Matrice inversabile din Mn(ℂ). Ecuații matriceale

Matrice inversabilă

O matrice pătratică $A$ este inversabilă dacă există o matrice $A^{-1}$ astfel încât:

AA^{-1}=A^{-1}A=I_n

Criteriu

A\text{ este inversabilă}\Longleftrightarrow \det(A)\ne0

Pentru ordinul $2$ :

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Ecuații matriceale

Dacă $A$ este inversabilă:

AX=B\Longrightarrow X=A^{-1}B

XA=B\Longrightarrow X=BA^{-1}

Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute. Sisteme de tip Cramer. Rangul unei matrice

Sistem liniar

Un sistem liniar are forma:

\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}

Matricea coeficienților se notează $A$ , iar matricea extinsă se notează $(A|B)$ .

Sistem Cramer

Un sistem pătratic este de tip Cramer dacă:

\det(A)\ne0

Atunci are soluție unică, iar:

x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}

unde $\Delta=\det(A)$ , iar $\Delta_i$ se obține înlocuind coloana $i$ cu termenii liberi.

Rang

Rangul unei matrice este ordinul maxim al unui minor nenul.

Compatibilitatea sistemelor: Kronecker-Capelli, Rouchè, metoda Gauss

Compatibilitatea sistemelor

Un sistem este compatibil dacă are cel puțin o soluție.

Un sistem compatibil este determinat dacă are o singură soluție și nedeterminat dacă are infinit de multe soluții.

Teorema Kronecker-Capelli

Sistemul $AX=B$ este compatibil dacă și numai dacă:

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A|B)

Dacă rangul comun este egal cu numărul necunoscutelor, sistemul are soluție unică.

Dacă rangul comun este mai mic decât numărul necunoscutelor, sistemul are infinit de multe soluții.

Metoda Gauss

Metoda Gauss transformă sistemul prin operații elementare pe linii până la o formă triunghiulară sau eșalonată.

Aplicații: ecuația dreptei, aria triunghiului, coliniaritatea a trei puncte

Ecuația dreptei prin două puncte

Pentru $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ :

\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_A&y_A&1\\ x_B&y_B&1 \end{vmatrix}=0

Coliniaritate

Punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă:

\begin{vmatrix} x_A&y_A&1\\ x_B&y_B&1\\ x_C&y_C&1 \end{vmatrix}=0

Aria triunghiului

A_{ABC}=\frac12\left|\begin{vmatrix} x_A&y_A&1\\ x_B&y_B&1\\ x_C&y_C&1 \end{vmatrix}\right|

Capitol următor →Geometrie Analitică: Drepte în Planul Cartezian