Elemente de Algebră

Lege de compoziție internă

O lege de compoziție internă pe o mulțime nevidă $M$ este o aplicație:

adică pentru orice $a,b\in M$, rezultatul $a*b$ aparține tot lui $M$.

Tabla operației

Pentru o mulțime finită, legea poate fi descrisă printr-un tabel în care la intersecția liniei lui $a$ cu coloana lui $b$ se află $a*b$.

Parte stabilă

O submulțime nevidă $A\subset M$ este parte stabilă pentru legea $*$ dacă:

Stabilitatea trebuie verificată pentru toate perechile de elemente din $A$.

Grup

O mulțime nevidă $G$ cu o lege internă $*$ este grup dacă:

1. legea este asociativă: $(a*b)*c=a*(b*c)$;
2. există element neutru $e$: $e*a=a*e=a$;
3. orice element $a$ are simetric $a'$, astfel încât $a*a'=a'*a=e$.

Dacă în plus $a*b=b*a$ pentru orice $a,b\in G$, grupul este comutativ.

Exemple

$(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{R},+)$ și $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ sunt grupuri.

Mulțimea permutărilor de grad $n$ formează grup față de compunere.

Subgrup

O submulțime nevidă $H\subset G$ este subgrup dacă este grup cu legea indusă din $G$.

Pentru un grup finit, $H$ este subgrup dacă este parte stabilă și conține simetricele elementelor sale.

Morfism de grupuri

Fie $(G,*)$ și $(H,\circ)$ două grupuri. O funcție $f:G\to H$ este morfism dacă:

pentru orice $a,b\in G$.

Proprietăți

Dacă $e_G$ și $e_H$ sunt elementele neutre, atunci:

și:

Izomorfism

Un morfism bijectiv se numește izomorfism.

Dacă există un izomorfism între două grupuri, spunem că grupurile sunt izomorfe și au aceeași structură algebrică.

Inel

O mulțime $A$ cu două legi, notate $+$ și $\cdot$, este inel dacă:

1. $(A,+)$ este grup abelian;
2. înmulțirea este asociativă;
3. înmulțirea este distributivă față de adunare:

Inel comutativ și inel unitar

Inelul este comutativ dacă $ab=ba$ pentru orice $a,b\in A$.

Inelul este unitar dacă are element neutru pentru înmulțire, notat de obicei $1$.

Exemple

$(\mathbb{Z},+,\cdot)$, $(\mathbb{R},+,\cdot)$, mulțimile de matrice pătratice și mulțimile de funcții reale sunt exemple de inele.

Corp

Un corp este un inel comutativ unitar în care orice element nenul are invers la înmulțire.

Exemple:

Dacă $p$ este număr prim, atunci $\mathbb{Z}_p$ este corp.

Morfism de inele

O funcție $f:A\to B$ este morfism de inele dacă păstrează adunarea și înmulțirea:

Pentru morfisme unitare se cere și $f(1_A)=1_B$.

Morfismele de corpuri respectă aceleași operații și păstrează structura de corp.