Funcția de Gradul II

Funcția de gradul II

Funcția de gradul II are forma:

Graficul ei este o parabolă.

Axa de simetrie

Intersecții cu axele

Cu axa $Oy$: punctul $(0,c)$.

Cu axa $Ox$: soluțiile ecuației $ax^2+bx+c=0$.

Discriminantul

Relațiile lui Viète

Pentru ecuația:

dacă are rădăcinile $x_1$ și $x_2$, atunci:

Sisteme de forma sumă-produs

Dacă:

atunci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației:

Exemplu

Dacă $x+y=5$ și $xy=6$, atunci $x,y$ sunt $2$ și $3$.

Vârful parabolei

Pentru $f(x)=ax^2+bx+c$, abscisa vârfului este:

iar ordonata este:

Monotonie

• dacă $a>0$, parabola are minim și este descrescătoare până la $x_V$, apoi crescătoare;
• dacă $a<0$, parabola are maxim și este crescătoare până la $x_V$, apoi descrescătoare.

Exemplu

Pentru $f(x)=x^2-4x+1$, avem $x_V=2$.

Semnul funcției de gradul II

Pentru $f(x)=ax^2+bx+c$, semnul depinde de $a$ și de rădăcini.

Dacă $\Delta>0$, funcția are două rădăcini $x_1<x_2$ și:

• are semnul lui $a$ pe $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$;
• are semnul opus lui $a$ pe $(x_1,x_2)$.

Dacă $\Delta=0$, funcția are semnul lui $a$ pentru orice $x\ne x_0$.

Dacă $\Delta<0$, funcția are semnul lui $a$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

Inecuații pătrate

Rezolvăm inecuațiile de gradul al doilea folosind tabelul de semn al funcției.

Dreaptă și parabolă

Poziția relativă a dreptei $y=mx+n$ față de parabola $y=ax^2+bx+c$ se studiază rezolvând ecuația:

adică:

Cazuri

• $\Delta>0$: dreapta intersectează parabola în două puncte;
• $\Delta=0$: dreapta este tangentă la parabolă;
• $\Delta<0$: nu există puncte reale de intersecție.

Exemplu

Pentru o ecuație de intersecție cu discriminant nul, dreapta are un singur punct comun cu parabola.