Mulțimi și Logică Matematică

Mulțimea numerelor reale

Mulțimea numerelor reale se notează cu $\mathbb{R}$ și conține numerele raționale și iraționale.

Modulul unui număr real

Modulul lui $x$ este distanța de la $x$ la $0$ pe axa numerelor:

Proprietăți:

Intervale

Intervalele descriu submulțimi ale lui $\mathbb{R}$:

Interval	Condiție
$[a,b]$	$a\le x\le b$
$(a,b)$	$a<x<b$
$[a,b)$	$a\le x<b$
$(a,b]$	$a<x\le b$

Aproximări

Aproximarea prin lipsă este mai mică sau egală cu numărul, iar aproximarea prin adaos este mai mare sau egală cu numărul.

Propoziții

O propoziție matematică este un enunț despre care putem spune că este adevărat sau fals.

Exemple:

• $2+3=5$ este adevărată;
• $7<4$ este falsă.

Predicate

Un predicat depinde de una sau mai multe variabile. El devine propoziție după ce variabilele primesc valori.

Exemplu:

Pentru $x=3$, propoziția este adevărată; pentru $x=2$, este falsă.

Cuantificatori

Cuantificatorul universal înseamnă „pentru orice”:

Cuantificatorul existențial înseamnă „există”:

Negații

Negația lui „pentru orice” devine „există”, iar negația lui „există” devine „pentru orice”.

Operații logice

Pentru propoziții $p$ și $q$:

Operație	Notație	Sens
negație	$\neg p$	nu $p$
conjuncție	$p\land q$	$p$ și $q$
disjuncție	$p\lor q$	$p$ sau $q$
implicație	$p\Rightarrow q$	dacă $p$, atunci $q$
echivalență	$p\Leftrightarrow q$	$p$ dacă și numai dacă $q$

Relații între mulțimi

$A\subset B$ înseamnă că orice element al lui $A$ aparține lui $B$.

Operații:

Formule utile

Inducția matematică

Inducția matematică este o metodă de demonstrație pentru propoziții dependente de un număr natural $n$.

Pașii metodei

1. Verificăm propoziția pentru primul caz, de obicei $n=1$.
2. Presupunem că propoziția este adevărată pentru $n=k$.
3. Demonstrăm că este adevărată pentru $n=k+1$.

Dacă acești pași sunt îndepliniți, propoziția este adevărată pentru toate valorile naturale admise.

Exemplu

Pentru orice $n\ge1$:

Verificare pentru $n=1$:

Pasul de inducție se obține adăugând $k+1$ la suma presupusă adevărată.