pregatire-matematica.ro
Autentificare
01Modalități de a defini un șir. Șiruri mărginite și monotone02Progresii aritmetice: termenul general și suma primilor n termeni03Progresii geometrice: termenul general și suma primilor n termeni04Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică

Șiruri

01

Modalități de a defini un șir. Șiruri mărginite și monotone

Șiruri

Un șir este o funcție definită pe N\mathbb{N} sau pe o submulțime a lui N\mathbb{N}.

a1,a2,a3,…,an,…a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots

Un șir poate fi definit:

  • prin termen general;
  • prin relație de recurență;
  • prin descriere verbală.

Șiruri monotone

Șirul este crescător dacă:

an+1≥ana_{n+1}\ge a_n

și descrescător dacă:

an+1≤ana_{n+1}\le a_n

Șiruri mărginite

Șirul este mărginit superior dacă există MM astfel încât an≤Ma_n\le M pentru orice nn. Este mărginit inferior dacă există mm astfel încât an≥ma_n\ge m.

02

Progresii aritmetice: termenul general și suma primilor n termeni

Progresia aritmetică

Un șir este progresie aritmetică dacă diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă.

an+1−an=ra_{n+1}-a_n=r

Numărul rr se numește rația progresiei.

Termenul general

an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r

Suma primilor nn termeni

Sn=n(a1+an)2S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

sau

Sn=n2(2a1+(n−1)r)S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)r\right)

Exemplu

Pentru a1=3a_1=3 și r=2r=2:

a5=3+4⋅2=11a_5=3+4\cdot2=11
03

Progresii geometrice: termenul general și suma primilor n termeni

Progresia geometrică

Un șir este progresie geometrică dacă raportul dintre doi termeni consecutivi este constant.

bn+1bn=q\frac{b_{n+1}}{b_n}=q

Numărul qq se numește rația progresiei.

Termenul general

bn=b1qn−1b_n=b_1q^{n-1}

Suma primilor nn termeni

Dacă q≠1q\ne1:

Sn=b1qn−1q−1S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}

Dacă q=1q=1:

Sn=nb1S_n=nb_1

Exemplu

Pentru b1=2b_1=2 și q=3q=3:

b4=2⋅33=54b_4=2\cdot3^3=54
04

Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică

Condiții de progresie

Trei numere a,b,ca,b,c sunt în progresie aritmetică dacă:

2b=a+c2b=a+c

Numărul din mijloc este media aritmetică a celorlalte două.

Progresie geometrică

Trei numere nenule a,b,ca,b,c sunt în progresie geometrică dacă:

b2=acb^2=ac

Numărul din mijloc este media geometrică, dacă termenii sunt pozitivi:

b=acb=\sqrt{ac}

Exemplu

Numerele 4,x,164,x,16 sunt în progresie geometrică pozitivă:

x2=64⇒x=8x^2=64\Rightarrow x=8
← Capitol anteriorMulțimi și Logică MatematicăCapitol următor →Funcții. Lecturi grafice