pregatire-matematica.ro
Autentificare
01Reper cartezian. Produs cartezian. Reprezentare prin puncte02Funcția: definiție, exemple, modalități de descriere. Egalitatea funcțiilor. Graficul03Funcții numerice. Mărginire, monotonie. Lecturi grafice04Paritate, imparitate, simetrie față de x=m, periodicitate05Compunerea funcțiilor

Funcții. Lecturi grafice

01

Reper cartezian. Produs cartezian. Reprezentare prin puncte

Reper cartezian

Un reper cartezian este format din două axe perpendiculare: OxOx și OyOy.

Un punct din plan se notează:

A(xA,yA)A(x_A,y_A)

Produs cartezian

Produsul cartezian A×BA\times B este mulțimea perechilor ordonate:

A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A\times B=\{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}

Reprezentare prin puncte

Fiecărei perechi ordonate îi corespunde un punct în plan.

Distanța dintre două puncte

Pentru A(xA,yA)A(x_A,y_A) și B(xB,yB)B(x_B,y_B):

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
02

Funcția: definiție, exemple, modalități de descriere. Egalitatea funcțiilor. Graficul

Funcția

O funcție f:A→Bf:A\to B asociază fiecărui element x∈Ax\in A un singur element f(x)∈Bf(x)\in B.

Mulțimea AA este domeniul, iar BB este codomeniul.

Modalități de descriere

O funcție poate fi descrisă prin:

  • formulă;
  • tabel;
  • diagramă;
  • grafic.

Egalitatea funcțiilor

Două funcții sunt egale dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași valoare pentru orice element din domeniu.

Graficul funcției

Gf={(x,f(x))∣x∈A}G_f=\{(x,f(x))\mid x\in A\}
03

Funcții numerice. Mărginire, monotonie. Lecturi grafice

Funcții numerice

O funcție numerică are valori numerice și poate fi studiată prin tabel, formulă sau grafic.

Mărginire

Funcția este mărginită superior dacă există MM astfel încât:

f(x)≤Mf(x)\le M

pentru orice xx din domeniu. Similar, este mărginită inferior dacă există mm cu f(x)≥mf(x)\ge m.

Monotonie

Funcția este crescătoare dacă:

x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)

Este descrescătoare dacă:

x1<x2⇒f(x1)≥f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)

Lecturi grafice

Din grafic citim valori, semn, intersecții cu axele, intervale de monotonie și puncte de extrem.

04

Paritate, imparitate, simetrie față de x=m, periodicitate

Paritate

O funcție este pară dacă domeniul este simetric față de 00 și:

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa OyOy.

Imparitate

O funcție este impară dacă:

f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

Graficul este simetric față de origine.

Simetrie față de x=mx=m

Graficul este simetric față de dreapta x=mx=m dacă punctele aflate la aceeași distanță de mm au aceeași valoare.

Periodicitate

Funcția este periodică dacă există T>0T>0 astfel încât:

f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)
05

Compunerea funcțiilor

Compunerea funcțiilor

Pentru funcțiile f:A→Bf:A\to B și g:B→Cg:B\to C, compunerea se notează:

(g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x))

Ordinea este importantă: mai întâi se aplică ff, apoi gg.

Condiție

Compunerea g∘fg\circ f este definită dacă valorile lui ff aparțin domeniului lui gg.

Exemplu

Dacă f(x)=2x+1f(x)=2x+1 și g(x)=x2g(x)=x^2, atunci:

(g∘f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)2(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2

iar

(f∘g)(x)=f(x2)=2x2+1(f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1
← Capitol anteriorȘiruriCapitol următor →Funcția de Gradul I