Produs Scalar și Aplicații în Geometrie

Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți

Produsul scalar al vectorilor $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este:

\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

unde $\theta$ este unghiul dintre vectori.

În coordonate, dacă $\vec{u}=(x_1,y_1)$ și $\vec{v}=(x_2,y_2)$ :

\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2

\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}

\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}

Vectorii nenuli sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul scalar este $0$ .

În triunghiul $ABC$ , cu laturile $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ :

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Formule similare:

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Dacă $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ , atunci vectorii nenuli sunt perpendiculari.

Pentru $A=90^\circ$ , teorema cosinusului devine teorema lui Pitagora:

a^2=b^2+c^2

În orice triunghi $ABC$ :

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

unde $R$ este raza cercului circumscris.

Folosim teorema sinusurilor când avem o latură și unghiul opus ei sau când apar două unghiuri și o latură.

Dacă $a=10$ , $A=30^\circ$ și $B=45^\circ$ , atunci:

\frac{b}{\sin45^\circ}=\frac{10}{\sin30^\circ}

de unde:

b=10\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=10\sqrt2

Pentru triunghiul cu laturile $a$ , $b$ , $c$ și semiperimetrul:

s=\frac{a+b+c}{2}

formula lui Heron este:

A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

O altă formulă utilă:

A=\frac{bc\sin A}{2}

A=rs\Rightarrow r=\frac{A}{s}

A=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4A}

Medianele, bisectoarele și înălțimile se leagă de arie, rapoarte și formule trigonometrice în funcție de datele problemei.