Elemente de Trigonometrie

Cercul trigonometric. Definirea funcțiilor trigonometrice pe [0,2π]

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în origine și raza $1$ .

Un punct $M$ de pe cerc asociat unghiului $x$ are coordonatele:

M(\cos x,\sin x)

Pe intervalul $[0,2\pi]$ , valorile lui sinus și cosinus se citesc de pe cerc:

\sin 0=0,quad \cos 0=1

\sin \frac{\pi}{2}=1,quad \cos \frac{\pi}{2}=0

Funcțiile sinus și cosinus sunt definite pentru orice număr real:

\sin x,qquad \cos x

Tangenta este definită când $\cos x\ne0$ :

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

Cotangenta este definită când $\sin x\ne0$ :

\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}

\sin(x+2\pi)=\sin x,qquad \cos(x+2\pi)=\cos x

\tan(x+\pi)=\tan x,qquad \cot(x+\pi)=\cot x

Valorile trigonometrice ale unui unghi se pot reduce la valorile unui unghi ascuțit din primul cadran, ținând cont de semn.

Cadran	$\sin$	$\cos$	$\tan$
I	$+$	$+$	$+$
II	$+$	$-$	$-$
III	$-$	$-$	$+$
IV	$-$	$+$	$-$

\sin(\pi-x)=\sin x,qquad \cos(\pi-x)=-\cos x

\sin(\pi+x)=-\sin x,qquad \cos(\pi+x)=-\cos x

\sin(2\pi-x)=-\sin x,qquad \cos(2\pi-x)=\cos x

\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b

\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b

\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b

\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b

\sin 2a=2\sin a\cos a

\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a

Forme echivalente:

\cos 2a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a

\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}

\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}

\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}

\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}

\sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}

\cos a\cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}

\sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}