Coliniaritate, Concurență, Paralelism

Vectorul de poziție

Într-un reper cu originea $O$, vectorul de poziție al punctului $A$ este:

Dacă $A(x_A,y_A)$, atunci:

Vectorul dintre două puncte

Pentru $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$:

Mijlocul unui segment

Dacă $M$ este mijlocul lui $AB$, atunci:

Punct care împarte un segment

Dacă $M\in AB$ și:

atunci vectorul de poziție al lui $M$ este:

În coordonate:

Teorema lui Thales

În triunghi, o paralelă la o latură determină segmente proporționale pe celelalte două laturi.

Dacă $DE\parallel BC$, atunci:

Centrul de greutate

Medianele unui triunghi sunt concurente în centrul de greutate $G$.

Dacă $A$, $B$, $C$ au vectorii de poziție $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, atunci:

În coordonate:

Raport pe mediană

Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul:

de la vârf spre mijlocul laturii opuse.

Teorema lui Ceva

În triunghiul $ABC$, punctele $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$ determină ceviene concurente $AD$, $BE$, $CF$ dacă și numai dacă:

pentru lungimi pozitive în cazul punctelor aflate pe laturi.

Teorema lui Menelau

Punctele $D$, $E$, $F$ aflate pe laturile sau prelungirile laturilor triunghiului $ABC$ sunt coliniare dacă, folosind segmente orientate:

Cu lungimi neorientate și un punct exterior, produsul valorilor absolute este $1$.

Atenție

La Menelau contează orientarea segmentelor; la Ceva, pentru puncte interioare, se lucrează direct cu lungimi pozitive.