Noțiuni Geometrice Fundamentale

Ideea lecției

Două drepte care se intersectează formează patru unghiuri. Relațiile dintre ele ne ajută să calculăm rapid măsuri necunoscute, fără desen complicat.

Unghiuri opuse la vârf

Două unghiuri sunt opuse la vârf dacă laturile unuia sunt semidreptele opuse laturilor celuilalt.

Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, adică au aceeași măsură.

Dacă dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$, atunci:

Unghiuri în jurul unui punct

Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul aceluiași punct este:

Dacă trei sau mai multe unghiuri acoperă complet zona din jurul unui punct, adunăm măsurile lor și obținem $360^\circ$.

Unghiuri suplementare și complementare

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este $180^\circ$.

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90^\circ$.

Tip de relație	Condiție	Exemplu
Complementare	$x+y=90^\circ$	$35^\circ$ și $55^\circ$
Suplementare	$x+y=180^\circ$	$120^\circ$ și $60^\circ$
În jurul unui punct	suma este $360^\circ$	$80^\circ+110^\circ+170^\circ$

Exemplu rezolvat

Două drepte se intersectează. Unul dintre unghiuri are $68^\circ$. Unghiul opus la vârf are tot $68^\circ$, iar fiecare unghi alăturat lui este suplementar cu el:

Deci cele patru unghiuri sunt $68^\circ, 112^\circ, 68^\circ, 112^\circ$.

De reținut

• unghiurile opuse la vârf sunt egale;
• două unghiuri adiacente ale căror laturi necomune sunt semidrepte opuse au suma $180^\circ$;
• unghiurile din jurul unui punct au suma $360^\circ$.

Unghiuri adiacente

Două unghiuri sunt adiacente dacă au același vârf, o latură comună, iar interioarele lor nu se suprapun.

Dacă $OB$ este latura comună, atunci unghiurile $\angle AOB$ și $\angle BOC$ sunt adiacente.

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului care îl împarte în două unghiuri congruente.

Dacă $[OD$ este bisectoarea unghiului $\angle AOB$, atunci:

Construcția bisectoarei

Pentru a construi bisectoarea cu rigla și compasul:

• se trasează un arc cu centrul în vârful unghiului, care taie laturile în două puncte;
• din cele două puncte se trasează arce de aceeași rază, care se intersectează în interiorul unghiului;
• se unește vârful unghiului cu punctul de intersecție al arcelor.

Exemplu rezolvat

Unghiul $\angle AOB$ are măsura $74^\circ$, iar $[OC$ este bisectoarea lui. Atunci:

Observație

Dacă două unghiuri adiacente sunt și suplementare, ele formează un unghi alungit. În acest caz suma lor este $180^\circ$.

Drepte paralele

Două drepte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun.

Notăm:

Dacă două drepte se suprapun, ele sunt confundate; dacă au un singur punct comun, ele sunt secante.

Axioma paralelelor

Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la dreapta dată.

Această proprietate este folosită în construcții și demonstrații: dacă avem un punct $P$ și o dreaptă $d$, există o unică dreaptă prin $P$ paralelă cu $d$.

Unghiuri formate de o secantă

Când o dreaptă taie două drepte paralele, apar perechi speciale de unghiuri:

Pereche de unghiuri	Proprietate când dreptele sunt paralele
corespondente	sunt congruente
alterne interne	sunt congruente
alterne externe	sunt congruente
interne de aceeași parte a secantei	sunt suplementare

Criterii de paralelism

Pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, este suficient să arătăm una dintre proprietățile de mai jos:

• o pereche de unghiuri corespondente sunt congruente;
• o pereche de unghiuri alterne interne sunt congruente;
• suma a două unghiuri interne de aceeași parte a secantei este $180^\circ$.

Exemplu rezolvat

Două drepte $a$ și $b$ sunt tăiate de o secantă. Dacă două unghiuri alterne interne au măsurile $63^\circ$ și $63^\circ$, atunci:

pentru că unghiurile alterne interne sunt congruente.

Drepte perpendiculare

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând un unghi drept.

Notăm:

Un unghi drept are măsura $90^\circ$.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la un punct $P$ la o dreaptă $d$ este lungimea segmentului perpendicular dus din $P$ pe dreapta $d$.

Dacă $H \in d$ și $PH \perp d$, atunci:

Segmentul perpendicular este cel mai scurt segment care unește punctul $P$ de dreapta $d$.

Mediatoarea unui segment

Mediatoarea segmentului $AB$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ dusă prin mijlocul segmentului.

Orice punct aflat pe mediatoarea segmentului $AB$ este la aceeași distanță de capetele segmentului.

Dacă $M$ este pe mediatoarea lui $AB$, atunci:

Simetria față de o dreaptă

Două puncte $A$ și $A'$ sunt simetrice față de dreapta $d$ dacă $d$ este mediatoarea segmentului $AA'$.

Într-o figură simetrică față de o dreaptă, fiecare punct are un corespondent aflat la aceeași distanță de axa de simetrie.

Exemplu rezolvat

Dacă $M$ este pe mediatoarea segmentului $AB$ și $MA=7$ cm, atunci:

Proprietatea mediatoarei ne dă egalitatea fără calcul suplimentar.

Cercul

Cercul cu centrul $O$ și raza $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanța $r$ de punctul $O$.

Notăm:

Elemente ale cercului

Element	Descriere
centru	punctul $O$
rază	segmentul de la centru la un punct de pe cerc
coardă	segment cu capetele pe cerc
diametru	coardă care trece prin centru
arc	porțiune din cerc cuprinsă între două puncte

Diametrul este de două ori raza:

Unghi la centru

Un unghi cu vârful în centrul cercului se numește unghi la centru.

Dacă $A$ și $B$ sunt puncte pe cerc, unghiul $\angle AOB$ determină arcul $AB$.

Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător:

Exemplu rezolvat

În cercul $C(O,5\text{ cm})$, diametrul are lungimea:

Dacă $m(\angle AOB)=80^\circ$, atunci arcul mic $AB$ are măsura $80^\circ$.

Dreaptă și cerc

Poziția unei drepte față de un cerc depinde de numărul punctelor comune.

Poziție	Număr de puncte comune	Observație
dreaptă exterioară	$0$	dreapta nu atinge cercul
tangentă	$1$	are un singur punct comun
secantă	$2$	taie cercul în două puncte

Tangenta la cerc

Tangenta la cerc într-un punct este perpendiculară pe raza dusă în acel punct.

Dacă dreapta $t$ este tangentă la cerc în $A$, atunci:

Două cercuri

Două cercuri pot avea:

• niciun punct comun;
• un singur punct comun, când sunt tangente;
• două puncte comune, când sunt secante;
• același centru, când sunt concentrice.

Dacă două cercuri au același centru și aceeași rază, atunci ele coincid.

Exemplu rezolvat

O dreaptă are exact un punct comun cu cercul $C(O,r)$, punctul $A$. Atunci dreapta este tangentă la cerc, iar raza $OA$ este perpendiculară pe dreaptă.

De reținut

Pentru problemele cu tangentă, caută mereu raza dusă la punctul de contact: ea formează un unghi drept cu tangenta.