Triunghiul

Definiție

Triunghiul determinat de trei puncte necoliniare $A$, $B$ și $C$ este figura formată din segmentele $[AB]$, $[BC]$ și $[CA]$.

Notăm:

Punctele $A$, $B$, $C$ sunt vârfurile, segmentele $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$ sunt laturile, iar $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ sunt unghiurile triunghiului.

Perimetrul

Perimetrul triunghiului este suma lungimilor celor trei laturi:

Clasificare

După laturi:

• scalen: toate laturile au lungimi diferite;
• isoscel: are două laturi congruente;
• echilateral: are toate laturile congruente.

După unghiuri:

• ascuțitunghic: toate unghiurile sunt ascuțite;
• dreptunghic: are un unghi drept;
• obtuzunghic: are un unghi obtuz.

Suma unghiurilor

În orice triunghi:

Unghi exterior

Unghiul exterior unui triunghi este suplementar cu unghiul interior alăturat.

Dacă prelungim latura $BC$ dincolo de $C$, obținem un unghi exterior în vârful $C$. Măsura lui este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate:

Exemplu rezolvat

Dacă într-un triunghi două unghiuri au $48^\circ$ și $67^\circ$, al treilea este:

Construcția triunghiurilor

Un triunghi poate fi construit când datele determină figura în mod unic. Cele mai folosite cazuri sunt LUL, ULU și LLL.

Cazul LUL

Cunoaștem două laturi și unghiul cuprins între ele.

Exemplu: $AB=5$ cm, $AC=4$ cm, $m(\angle A)=60^\circ$.

Se trasează unghiul, apoi pe laturile lui se măsoară segmentele date.

Cazul ULU

Cunoaștem o latură și cele două unghiuri alăturate ei.

Exemplu: $AB=6$ cm, $m(\angle A)=40^\circ$, $m(\angle B)=70^\circ$.

Al treilea unghi se poate calcula:

Cazul LLL

Cunoaștem cele trei laturi. Construcția este posibilă numai dacă se respectă inegalitățile triunghiului.

Inegalități între elemente

În orice triunghi, suma lungimilor a două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia:

De asemenea, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.

Exemplu rezolvat

Se poate construi un triunghi cu laturile $3$, $4$, $8$?

Verificăm:

Nu se poate construi, deoarece suma a două laturi nu este mai mare decât a treia.

Bisectoarea unui unghi al triunghiului

Bisectoarea este segmentul sau semidreapta care împarte un unghi al triunghiului în două unghiuri congruente.

Dacă $AI$ este bisectoarea unghiului $A$, atunci:

Într-un triunghi există trei bisectoare, câte una pentru fiecare unghi.

Concurența bisectoarelor

Cele trei bisectoare se intersectează într-un singur punct, notat de obicei cu $I$.

Acest punct este centrul cercului înscris în triunghi.

Cercul înscris

Cercul înscris în triunghi este cercul tangent la toate cele trei laturi ale triunghiului.

Punctul $I$ este egal depărtat de cele trei laturi:

Această distanță comună este raza cercului înscris.

Cum recunoști problema

Când apar expresii precum „punct aflat la aceeași distanță de laturile unui unghi” sau „cerc tangent la toate laturile”, caută bisectoarele.

Exemplu rezolvat

Dacă $AI$ este bisectoarea unghiului $A$ și $m(\angle A)=72^\circ$, atunci:

Mediatoarea unei laturi

Mediatoarea unei laturi a triunghiului este dreapta perpendiculară pe mijlocul acelei laturi.

Pentru latura $AB$, mediatoarea este dreapta perpendiculară pe $AB$ în mijlocul segmentului.

Proprietatea mediatoarei

Orice punct de pe mediatoarea segmentului $AB$ este egal depărtat de $A$ și $B$.

Dacă $M$ este pe mediatoarea lui $AB$, atunci:

Concurența mediatoarelor

Cele trei mediatoare sunt concurente într-un punct, notat de obicei cu $O$.

Acest punct este centrul cercului circumscris triunghiului.

Cercul circumscris

Cercul circumscris triunghiului este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului.

Prin urmare:

Poziția centrului cercului circumscris

• într-un triunghi ascuțitunghic, centrul cercului circumscris este în interior;
• într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei;
• într-un triunghi obtuzunghic, centrul cercului circumscris este în exterior.

Exemplu rezolvat

Dacă $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ și $OA=6$ cm, atunci:

Mediana

Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Dacă $M$ este mijlocul lui $BC$, atunci $AM$ este mediană.

Cele trei mediane sunt concurente într-un punct numit centru de greutate, notat de obicei cu $G$.

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la $\frac{2}{3}$ de vârf și la $\frac{1}{3}$ de bază.

Pentru mediana $AM$:

Înălțimea

Înălțimea este segmentul dus dintr-un vârf, perpendicular pe latura opusă sau pe prelungirea acesteia.

Dacă $AD \perp BC$, atunci $AD$ este înălțimea dusă din $A$.

Cele trei înălțimi sunt concurente într-un punct numit ortocentru, notat de obicei cu $H$.

Poziția ortocentrului

• într-un triunghi ascuțitunghic, ortocentrul este în interior;
• într-un triunghi dreptunghic, ortocentrul este vârful unghiului drept;
• într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul este în exterior.

Exemplu rezolvat

Dacă mediana $AM$ are lungimea $12$ cm, atunci centrul de greutate $G$ împarte mediana astfel:

și

Triunghiuri congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă au aceeași formă și aceeași mărime. Elementele corespunzătoare sunt congruente.

Scriem:

Criteriul LUL

Două triunghiuri sunt congruente dacă au două laturi și unghiul cuprins între ele respectiv congruente.

Criteriul ULU

Două triunghiuri sunt congruente dacă au o latură și unghiurile alăturate ei respectiv congruente.

Criteriul LLL

Două triunghiuri sunt congruente dacă au cele trei laturi respectiv congruente.

Triunghiuri dreptunghice

Pentru triunghiuri dreptunghice, criteriile se formulează mai rapid:

Criteriu	Date suficiente
CC	cele două catete
IC	ipotenuza și o catetă
CU	o catetă și un unghi ascuțit
IU	ipotenuza și un unghi ascuțit

Exemplu rezolvat

Dacă în două triunghiuri avem:

atunci triunghiurile sunt congruente prin criteriul LUL.

Metoda triunghiurilor congruente

Metoda constă în a identifica două triunghiuri, a demonstra că sunt congruente, apoi a folosi egalitatea elementelor corespunzătoare.

Pașii sunt:

• alegem cele două triunghiuri;
• stabilim elementele egale cunoscute;
• aplicăm un criteriu de congruență;
• extragem concluzia: laturi egale, unghiuri egale sau puncte cu proprietăți speciale.

Puncte pe bisectoare

Un punct aflat pe bisectoarea unui unghi este la aceeași distanță de laturile unghiului.

Reciproc, dacă un punct din interiorul unui unghi este la aceeași distanță de laturile unghiului, atunci el se află pe bisectoare.

Puncte pe mediatoare

Un punct aflat pe mediatoarea segmentului $AB$ este egal depărtat de $A$ și $B$:

Reciproc, dacă $MA=MB$, atunci punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $AB$.

Exemplu de strategie

Pentru a demonstra că $AD$ este bisectoare, putem arăta că două triunghiuri de o parte și de alta a lui $AD$ sunt congruente. Dacă rezultă:

atunci $AD$ este bisectoarea unghiului $A$.

De reținut

Congruența nu este scopul final, ci instrumentul prin care obținem egalități utile.

Triunghiul isoscel

Un triunghi este isoscel dacă are două laturi congruente. Latura diferită se numește bază.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente.

Dacă $AB=AC$, atunci:

Triunghiul echilateral

Un triunghi echilateral are toate laturile congruente și toate unghiurile egale.

Fiecare unghi al unui triunghi echilateral are:

Triunghiul dreptunghic

Un triunghi dreptunghic are un unghi de $90^\circ$. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două laturi sunt catete.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $a$, $b$ și ipotenuza $c$:

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi cu laturile $a$, $b$, $c$ avem:

unde $c$ este cea mai mare latură, atunci triunghiul este dreptunghic.

Exemplu rezolvat

Pentru laturile $6$, $8$, $10$:

Triunghiul este dreptunghic.