Patrulaterul

Patrulaterul

Un poligon cu patru laturi se numește patrulater.

Un patrulater $ABCD$ are:

• vârfurile $A$, $B$, $C$, $D$;
• laturile $AB$, $BC$, $CD$, $DA$;
• diagonalele $AC$ și $BD$;
• unghiurile $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$.

Patrulater convex

Un patrulater este convex dacă orice segment care unește două puncte din interiorul lui rămâne în interiorul patrulaterului.

Într-un patrulater convex, diagonalele sunt în interiorul figurii.

Suma unghiurilor

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este:

Justificare: o diagonală împarte patrulaterul în două triunghiuri, iar fiecare triunghi are suma unghiurilor $180^\circ$.

Exemplu rezolvat

În patrulaterul $ABCD$, trei unghiuri au măsurile $80^\circ$, $95^\circ$ și $110^\circ$. Al patrulea este:

Paralelogramul

Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două.

Pentru paralelogramul $ABCD$:

Proprietăți

Într-un paralelogram:

• laturile opuse sunt congruente;
• unghiurile opuse sunt congruente;
• unghiurile alăturate sunt suplementare;
• diagonalele se înjumătățesc.

Dacă diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în $O$, atunci:

Linia mijlocie în triunghi

Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.

Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din aceasta:

Centrul de greutate

Medianele unui triunghi sunt concurente în centrul de greutate $G$.

Punctul $G$ împarte fiecare mediană în raportul:

de la vârf spre mijlocul laturii opuse.

Exemplu rezolvat

Dacă $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$ și $BC=14$ cm, atunci:

Dreptunghiul

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.

Într-un dreptunghi:

• toate unghiurile au $90^\circ$;
• diagonalele sunt congruente;
• diagonalele se înjumătățesc.

Rombul

Rombul este paralelogramul cu toate laturile congruente.

Într-un romb:

• toate laturile sunt egale;
• diagonalele sunt perpendiculare;
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor.

Pătratul

Pătratul este atât dreptunghi, cât și romb.

Într-un pătrat:

• toate laturile sunt congruente;
• toate unghiurile au $90^\circ$;
• diagonalele sunt congruente, perpendiculare, se înjumătățesc și bisectează unghiurile.

Tabel comparativ

Figură	Laturi	Unghiuri	Diagonale
Dreptunghi	opuse egale	toate drepte	egale
Romb	toate egale	opuse egale	perpendiculare
Pătrat	toate egale	toate drepte	egale și perpendiculare

Exemplu rezolvat

Dacă un paralelogram are un unghi de $90^\circ$, atunci este dreptunghi. Dacă, în plus, are două laturi alăturate egale, atunci este pătrat.

Trapezul

Trapezul este patrulaterul convex care are o pereche de laturi opuse paralele, iar celelalte două laturi sunt neparalele.

Laturile paralele se numesc baze.

Dacă $AB \parallel CD$, atunci $AB$ și $CD$ sunt bazele trapezului $ABCD$.

Clasificare

• trapez oarecare: nu are proprietăți speciale suplimentare;
• trapez dreptunghic: are o latură laterală perpendiculară pe baze;
• trapez isoscel: laturile neparalele sunt congruente.

Linia mijlocie în trapez

Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele ale trapezului se numește linie mijlocie.

Linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor:

unde $B$ și $b$ sunt lungimile bazelor.

Trapezul isoscel

Într-un trapez isoscel:

• unghiurile de la aceeași bază sunt congruente;
• diagonalele sunt congruente;
• laturile neparalele sunt congruente.

Exemplu rezolvat

Un trapez are bazele de $18$ cm și $10$ cm. Linia mijlocie are:

Perimetre

Perimetrul unei figuri plane este suma lungimilor laturilor ei.

Pentru un patrulater $ABCD$:

Arii importante

Figură	Arie
triunghi	$A=\dfrac{b\cdot h}{2}$
paralelogram	$A=b\cdot h$
dreptunghi	$A=L\cdot l$
pătrat	$A=l^2$
romb	$A=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$
trapez	$A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$

Paralelogram

Aria paralelogramului este produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare:

Trapez

Aria trapezului este produsul dintre semisuma bazelor și înălțime:

Exemplu rezolvat

Un trapez are bazele $12$ cm și $8$ cm, iar înălțimea $5$ cm. Aria este:

Atenție la unități

Perimetrul se măsoară în unități de lungime, iar aria în unități pătrate: cm, m, respectiv $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$.