Cercul

Unghi înscris în cerc

Un unghi înscris în cerc are vârful pe cerc, iar laturile lui intersectează cercul în două puncte. Măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Unghiul înscris care subîntinde un diametru este drept.

Coarde și arce

În același cerc sau în cercuri congruente:

• coardelor congruente le corespund arce congruente;
• arcelor congruente le corespund coarde congruente;
• coarda mai mare subîntinde arcul mai mare.

Exemplu

Dacă arcul mic $AB$ are $100^\circ$, atunci orice unghi înscris care subîntinde acest arc are:

Tangente dintr-un punct exterior

Tangenta la cerc într-un punct este perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact.

Dacă din punctul exterior $P$ se duc două tangente la cerc, cu punctele de contact $A$ și $B$, atunci segmentele tangente sunt congruente:

Proprietăți utile

• raza dusă la punctul de contact formează un unghi drept cu tangenta;
• triunghiurile formate cu cele două raze și tangentele sunt dreptunghice;
• centrul cercului se află pe bisectoarea unghiului format de cele două tangente.

Exemplu

Dacă $PA$ și $PB$ sunt tangente la cerc și $PA=9$ cm, atunci:

Poligon regulat înscris în cerc

Un poligon regulat are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Dacă toate vârfurile lui sunt pe un cerc, spunem că poligonul este înscris în cerc.

Centrul cercului este și centrul poligonului regulat.

Unghi la centru

Pentru un poligon regulat cu $n$ laturi, unghiul la centru corespunzător unei laturi este:

Exemple importante

Poligon regulat	Unghi la centru
triunghi echilateral	$120^\circ$
pătrat	$90^\circ$
hexagon regulat	$60^\circ$

Într-un hexagon regulat înscris într-un cerc, latura este egală cu raza cercului.

Lungimea cercului

Lungimea cercului de rază $R$ este:

Cum diametrul este $D=2R$, mai putem scrie:

Aria discului

Discul este suprafața din interiorul cercului. Aria discului de rază $R$ este:

Exemplu

Pentru $R=4$ cm:

și