Asemănarea Triunghiurilor

Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Două rapoarte egale formează o proporție:

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

unde $b\ne0$ și $d\ne0$ . Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:

a\cdot d=b\cdot c

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă.

Această proprietate este folosită pentru împărțirea segmentelor în părți egale sau proporționale.

Dacă $\frac{x}{6}=\frac{5}{10}$ , atunci:

10x=30\Rightarrow x=3

În triunghiul $ABC$ , dacă $D\in AB$ , $E\in AC$ și $DE\parallel BC$ , atunci segmentele determinate pe cele două laturi sunt proporționale:

\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Se folosesc și formele:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Dacă punctele $D\in AB$ , $E\in AC$ determină segmente proporționale pe cele două laturi, atunci:

DE\parallel BC

Dacă $AD=3$ , $DB=6$ , $AE=4$ , $EC=8$ , atunci:

\frac{AD}{DB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad \frac{AE}{EC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

Deci $DE\parallel BC$ .

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

Scriem:

\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'

Raportul laturilor corespunzătoare se numește raport de asemănare:

k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}

Dacă $AB=6$ , $A'B'=3$ , $BC=8$ , $B'C'=4$ , atunci raportul de asemănare este $k=2$ .

În triunghiul $ABC$ , dacă $DE\parallel BC$ , cu $D\in AB$ și $E\in AC$ , atunci:

\triangle ADE\sim\triangle ABC

De aici rezultă:

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Dacă două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k$ , atunci raportul ariilor este:

\frac{A_1}{A_2}=k^2

Dacă două triunghiuri asemenea au raportul laturilor $k=3$ , atunci raportul ariilor este:

k^2=9