Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Proiecții ortogonale

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din punct pe dreapta.

În triunghiul dreptunghic $ABC$ , cu $\angle A=90^\circ$ , fie $AD\perp BC$ , unde $D\in BC$ .

Teorema înălțimii

Înălțimea pe ipotenuză verifică:

AD^2=BD\cdot DC

Teorema catetei

Pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză:

AB^2=BD\cdot BC,\qquad AC^2=DC\cdot BC

Exemplu

Dacă $BD=4$ și $DC=9$ , atunci:

AD^2=4\cdot9=36\Rightarrow AD=6

Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

a^2+b^2=c^2

unde $c$ este ipotenuza.

Reciproca

Dacă într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ , unde $c$ este cea mai mare, avem:

a^2+b^2=c^2

atunci triunghiul este dreptunghic.

Exemplu

Pentru $5$ , $12$ , $13$ :

5^2+12^2=25+144=169=13^2

Triunghiul este dreptunghic.

Noțiuni de trigonometrie: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit

Rapoarte trigonometrice

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit $A$ :

\sin A=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}

\cos A=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}}

\tan A=\frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}},\qquad \cot A=\frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}

Relații utile

\tan A=\frac{\sin A}{\cos A},\qquad \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}

\sin^2 A+\cos^2 A=1

Exemplu

Dacă ipotenuza este $10$ și cateta opusă lui $A$ este $6$ , atunci:

\sin A=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}

Valorile sin, cos, tg, ctg pentru unghiurile de 30°, 45° și 60°

Valori trigonometrice uzuale

Valorile pentru $30^\circ$ , $45^\circ$ și $60^\circ$ trebuie cunoscute foarte bine.

Unghi	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$
$30^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$\sqrt3$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\sqrt3$	$\frac{\sqrt3}{3}$

Observație

Pentru unghiuri complementare:

\sin 30^\circ=\cos 60^\circ,\qquad \sin 60^\circ=\cos 30^\circ

Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații în triunghi echilateral, pătrat și hexagon regulat

Rezolvarea triunghiului dreptunghic

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina laturile și unghiurile necunoscute folosind Pitagora, rapoarte trigonometrice și suma unghiurilor.

Aplicații standard

În triunghiul echilateral de latură $a$ , înălțimea este:

h=\frac{a\sqrt3}{2}

În pătratul de latură $a$ , diagonala este:

d=a\sqrt2

În hexagonul regulat de latură $a$ , raza cercului circumscris este:

R=a

Exemplu

Un pătrat are latura $5$ cm. Diagonala lui este:

d=5\sqrt2\text{ cm}

← Capitol anteriorAsemănarea Triunghiurilor