Metode de Numărare

Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor f:A→B

O mulțime finită ordonată ține cont de ordinea elementelor.

Dacă $|A|=m$ și $|B|=n$ , atunci numărul funcțiilor $f:A\to B$ este:

n^m

Fiecare element din $A$ are $n$ variante de imagine în $B$ .

Dacă $A$ are $3$ elemente și $B$ are $5$ elemente, există:

5^3=125

funcții de la $A$ la $B$ .

O permutare a unei mulțimi cu $n$ elemente este o aranjare a tuturor elementelor.

Numărul permutărilor este:

P_n=n!

unde:

n!=1\cdot2\cdot3\cdots n

și $0!=1$ .

Permutările unei mulțimi finite sunt funcțiile bijective de la mulțime la ea însăși.

Pentru $4$ elemente:

P_4=4!=24

Aranjamentele de $n$ elemente luate câte $k$ sunt grupări ordonate de $k$ elemente distincte alese din $n$ .

Formula este:

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

unde $0\le k\le n$ .

Ordinea contează.

Din $5$ elevi alegem un președinte și un vicepreședinte:

A_5^2=\frac{5!}{3!}=20

Combinările de $n$ elemente luate câte $k$ sunt grupări neordonate de $k$ elemente distincte.

Formula:

C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C_n^k=C_n^{n-k}

O mulțime cu $n$ elemente are:

2^n

submulțimi.

C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=15

Pentru orice $n\in\mathbb{N}$ :

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k

Adică:

(a+b)^n=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+b^n

Termenul de rang $k+1$ este:

T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3