Funcții și Ecuații

Funcția putere

Funcția putere are forma:

unde $n\in\mathbb{N}^*$.

Dacă $n$ este par, graficul este simetric față de axa $Oy$. Dacă $n$ este impar, graficul este simetric față de origine.

Funcția radical

Funcția radical de ordin $n$ are forma:

Pentru $n$ par, domeniul este $[0,+\infty)$. Pentru $n$ impar, domeniul este $\mathbb{R}$.

Relație inversă

Pe domenii potrivite, funcția radical este inversa funcției putere.

Funcția exponențială

Pentru $a>0$, $a\ne1$:

Dacă $a>1$, funcția este crescătoare. Dacă $0<a<1$, funcția este descrescătoare.

Funcția logaritmică

Domeniul este $(0,+\infty)$.

Funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale:

Grafice

Graficele funcțiilor inverse sunt simetrice față de dreapta $y=x$.

Injectivitate

Funcția $f:A\to B$ este injectivă dacă valori diferite din domeniu au imagini diferite:

Surjectivitate

Funcția este surjectivă dacă orice element din codomeniu este imaginea unui element din domeniu.

Bijectivitate

Funcția este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.

Funcția inversă

O funcție are inversă dacă este bijectivă.

Graficul funcției inverse este simetric față de dreapta:

Funcții trigonometrice directe

Funcțiile trigonometrice directe sunt:

Pe cercul trigonometric, punctul asociat unghiului $x$ are coordonatele:

Sinus și cosinus sunt definite pe $\mathbb{R}$:

Valorile lor sunt între $-1$ și $1$:

Tangenta este definită pentru:

Cotangenta este definită pentru:

Definiții prin sinus și cosinus

Pentru valorile unde expresiile au sens:

Periodicitate

Funcțiile sinus și cosinus au perioada $2\pi$:

Tangenta și cotangenta au perioada $\pi$:

Valori remarcabile

$x$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin x$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$

Funcții inverse

Funcțiile inverse se definesc după restrângerea domeniilor, astfel încât funcțiile directe să fie bijective.

Funcție	Domeniu	Imagine
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

Exemple:

Ecuații cu radicali

Ecuațiile cu radicali se rezolvă izolând radicalul și ridicând la putere.

Pași

• stabilim condițiile de existență;
• izolăm radicalul;
• ridicăm la puterea potrivită;
• verificăm soluțiile în ecuația inițială.

Exemplu

Ridicăm la pătrat:

Verificare:

Ecuații exponențiale

Pentru aceeași bază pozitivă $a\ne1$:

Ecuații logaritmice

Pentru $a>0$, $a\ne1$:

cu condițiile:

Exemplu

Ecuații trigonometrice de bază

Ecuațiile trigonometrice se rezolvă folosind periodicitatea și simetriile de pe cercul trigonometric.

Pentru $\sin x=a$ sau $\cos x=a$, avem soluții reale numai dacă:

Pentru $\tan x=a$ și $\cot x=a$, există soluții pentru orice $a\in\mathbb{R}$, cu respectarea domeniilor de definiție.

Forme generale

Dacă $k\in\mathbb{Z}$:

Cazuri foarte frecvente

Ecuație	Soluții
$\sin x=0$	$x=k\pi$
$\cos x=0$	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$\sin x=1$	$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\sin x=-1$	$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\cos x=1$	$x=2k\pi$
$\cos x=-1$	$x=\pi+2k\pi$

Ecuații de tip $\sin f(x)=\sin g(x)$

Aplicăm aceeași regulă asupra argumentelor:

echivalează cu:

sau:

Ecuații de tip $\cos f(x)=\cos g(x)$

Avem:

sau:

Ecuații de tip $\tan f(x)=\tan g(x)$

Avem:

Aceeași regulă se folosește și pentru cotangentă:

Exemplu rezolvat

Rezolvăm:

Știm că:

Deci:

sau:

unde $k\in\mathbb{Z}$.

Verificare rapidă

După ce obții soluțiile, verifică două lucruri:

• valoarea cerută este posibilă, adică se află în imaginea funcției;
• soluțiile nu pică în afara domeniului, mai ales la tangentă și cotangentă.