Mulțimi de Numere

Puteri cu exponent real

Pentru $a>0$, puterea $a^x$ este definită pentru orice $x\in\mathbb{R}$.

Reguli de calcul:

Exponent rațional

Pentru $a>0$:

Aproximări

Putem aproxima numere reale prin numere raționale, folosind valori zecimale prin lipsă sau prin adaos.

Radical de ordin $n$

Pentru $n\ge2$, radicalul de ordin $n$ al lui $a$ este numărul $x$ care verifică:

Notăm:

Pentru $n$ par, radicalul real este definit pentru $a\ge0$. Pentru $n$ impar, este definit pentru orice $a\in\mathbb{R}$.

Proprietăți

Pentru expresii unde radicalii sunt definiți:

Logaritmul

Pentru $a>0$, $a\ne1$ și $x>0$, logaritmul lui $x$ în baza $a$ este exponentul la care ridicăm baza $a$ pentru a obține $x$:

Proprietăți

Schimbarea bazei:

Exemplu

Numere complexe

Mulțimea numerelor complexe se notează cu $\mathbb{C}$. Ea extinde mulțimea numerelor reale prin introducerea unității imaginare $i$, unde:

Un număr complex are forma algebrică:

unde $a,b\in\mathbb{R}$. Numărul $a$ este partea reală, iar $b$ este partea imaginară:

Două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară:

Puterile lui $i$

Puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4:

De exemplu, pentru a calcula $i^{27}$, împărțim $27$ la $4$. Restul este $3$, deci:

Conjugat și modul

Conjugatul lui $z=a+bi$ este:

Modulul este distanța de la origine la punctul care reprezintă numărul complex:

Relații utile:

Operații în formă algebrică

Pentru $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$:

Dacă $c+di\ne0$, împărțirea se face prin amplificare cu conjugatul:

În particular:

Interpretare geometrică

Numărul $z=a+bi$ se reprezintă prin punctul $M(a,b)$ în planul complex. Axa orizontală este axa reală, iar axa verticală este axa imaginară.

Adunarea numerelor complexe se interpretează ca adunare de vectori, iar modulul $|z|$ este lungimea vectorului $\overrightarrow{OM}$.

Exemplu rezolvat

Fie $z=3-4i$. Atunci:

Ecuația de gradul al doilea în $\mathbb{C}$

Pentru:

calculăm:

Dacă $\Delta\ge0$, soluțiile reale sunt cele cunoscute:

Dacă $\Delta<0$, soluțiile complexe sunt:

Ecuații bipătrate

Ecuația $ax^4+bx^2+c=0$ se rezolvă prin substituția:

Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie $z=a+bi\ne0$. Modulul este:

Argumentul lui $z$ este un unghi $\theta$ pentru care:

Atunci forma trigonometrică este:

Notăm adesea:

unde $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$.

Cum găsim argumentul

În practică, alegem unghiul după cadran:

• dacă $a>0$ și $b>0$, $z$ este în cadranul I;
• dacă $a<0$ și $b>0$, $z$ este în cadranul II;
• dacă $a<0$ și $b<0$, $z$ este în cadranul III;
• dacă $a>0$ și $b<0$, $z$ este în cadranul IV.

Pentru $z=1+i$:

Deci $\theta=\frac{\pi}{4}$ și:

Înmulțire și împărțire

Dacă:

atunci:

Pentru $z_2\ne0$:

Ideea importantă: la înmulțire modulele se înmulțesc, iar argumentele se adună.

Formula lui Moivre

Pentru $n\in\mathbb{N}$:

În special:

Exemplu cu puteri

Calculăm $(1+i)^8$.

Știm că:

Prin formula lui Moivre:

Rădăcini de ordin $n$

Rădăcinile ecuației:

unde $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, sunt:

unde:

Rădăcinile sunt puncte egal depărtate pe un cerc cu raza $\sqrt[n]{r}$.

Ecuații binome

O ecuație de forma:

se numește ecuație binomă. O rezolvăm scriind $a$ în formă trigonometrică și aplicând formula rădăcinilor de ordin $n$.

Exemplu:

Scriem:

Rădăcinile sunt:

Deci:

Aplicații ale numerelor complexe în geometrie

Un punct $A(x,y)$ din plan poate fi identificat cu numărul complex:

Această idee transformă multe probleme de geometrie în calcule cu numere complexe.

Distanța dintre două puncte

Dacă $A$ și $B$ au afixele $z_A$ și $z_B$, atunci:

Pentru $A(1,2)$ și $B(4,6)$:

Mijlocul unui segment

Afixul mijlocului segmentului $AB$ este:

Formula este aceeași cu media coordonatelor.

Coliniaritate

Punctele $A,B,C$ sunt coliniare dacă vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ au aceeași direcție. În limbaj complex:

cu $z_A\ne z_B$.

Paralelism și perpendicularitate

Dacă două direcții sunt date de numerele complexe nenule $u$ și $v$, atunci:

• direcțiile sunt paralele dacă $\frac{u}{v}\in\mathbb{R}$;
• direcțiile sunt perpendiculare dacă $\frac{u}{v}\in i\mathbb{R}$.

Cu alte cuvinte, raportul este real pentru același unghi sau unghi opus, respectiv imaginar pur pentru o rotație de $90^\circ$.

Unghiul a două direcții

Unghiul orientat dintre direcțiile $u$ și $v$ este argumentul raportului:

Această formulă este foarte utilă în probleme cu rotații, triunghiuri echilaterale și pătrate.

Rotații

Înmulțirea cu un număr de modul $1$ rotește punctele în jurul originii.

Rotația cu unghiul $\theta$ este:

Pentru rotația cu $90^\circ$:

Pentru rotația cu $-90^\circ$:

Exemplu scurt

Fie $A(0,0)$, $B(2,0)$ și $C(0,2)$. Avem:

Raportul:

este imaginar pur, deci $AB\perp AC$.