Limite de Funcții

Mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată

Intervale

Pe dreapta reală apar intervale de forma:

[a,b],\quad (a,b),\quad [a,b),\quad (a,b]

și intervale nemărginite, de exemplu:

(-\infty,a),\quad [a,\infty),\quad \mathbb{R}=(-\infty,\infty)

Mulțime mărginită

O mulțime $A\subset\mathbb{R}$ este mărginită superior dacă există $M$ astfel încât $x\le M$ pentru orice $x\in A$ .

Este mărginită inferior dacă există $m$ astfel încât $m\le x$ pentru orice $x\in A$ .

Vecinătate

O vecinătate a lui $a$ este un interval deschis care îl conține pe $a$ .

Dreapta încheiată

Dreapta reală încheiată este:

\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}

Funcții reale de variabilă reală: polinomiale, raționale, putere, radical, logaritm, exponențiale, trigonometrice

Funcții uzuale

Funcția polinomială:

f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0

Funcția rațională:

f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},\quad Q(x)\ne0

Funcția putere:

f(x)=x^a

Funcția radical:

f(x)=\sqrt[n]{x}

Funcția exponențială:

f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\ne1

Funcția logaritmică:

f(x)=\log_a x,\quad a>0,\ a\ne1,\ x>0

Funcțiile trigonometrice de bază sunt $\sin x$ , $\cos x$ , $\operatorname{tg}x$ și $\operatorname{ctg}x$ .

Limita unui șir. Șiruri convergente. Proprietatea lui Weierstrass. Exemple: (aⁿ), (nᵃ), numărul e

Limita unui șir

Șirul $(a_n)$ are limita $l$ dacă termenii săi se apropie oricât de mult de $l$ pentru $n$ suficient de mare:

\lim_{n\to\infty}a_n=l

Șir convergent

Un șir este convergent dacă are limită finită. Orice șir convergent este mărginit.

Proprietatea lui Weierstrass

Orice șir monoton și mărginit este convergent.

Exemple importante

Dacă $|a|<1$ , atunci:

\lim_{n\to\infty}a^n=0

Pentru $\alpha>0$ :

\lim_{n\to\infty}n^{\alpha}=+\infty

Numărul $e$ apare prin limita:

e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n

Limite de funcții: interpretare grafică, limite laterale. Operații cu limite

Limita unei funcții

Scriem:

\lim_{x\to a}f(x)=l

dacă valorile lui $f(x)$ se apropie de $l$ când $x$ se apropie de $a$ .

Limite laterale

Limita la stânga:

\lim_{x\to a^-}f(x)

Limita la dreapta:

\lim_{x\to a^+}f(x)

Limita în $a$ există dacă limitele laterale există și sunt egale.

Operații cu limite

Dacă $\lim f=a$ și $\lim g=b$ , atunci:

\lim(f+g)=a+b

\lim(fg)=ab

\lim\frac{f}{g}=\frac{a}{b},\quad b\ne0

Calculul limitelor. Cazuri exceptate: 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, ∞^0, 0^0

Cazuri directe

Pentru funcții polinomiale, limita într-un punct se obține prin înlocuire directă.

Pentru funcții raționale, se verifică mai întâi ca numitorul să nu tindă la $0$ .

Cazuri exceptate

Formele nedeterminate principale sunt:

\frac00,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad 1^{\infty},\quad \infty^0,\quad 0^0

Tehnici uzuale

La forma $\frac00$ se folosesc factorizarea, simplificarea sau raționalizarea.

La forma $\frac{\infty}{\infty}$ se compară termenii dominanți.

Pentru puteri de tip $1^{\infty}$ se poate logaritma expresia.

Asimptotele graficului funcțiilor: verticale, oblice

Asimptotă verticală

Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală dacă:

\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty

cel puțin pentru una dintre limitele laterale.

Asimptotă orizontală

Dreapta $y=b$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă:

\lim_{x\to+\infty}f(x)=b

Analog pentru $x\to-\infty$ .

Asimptotă oblică

Dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ dacă:

m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},\quad n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)

cu $m\ne0$ .

Subșiruri. Criteriul majorării și criteriul cleștelui. Trecerea la limită în inegalități

Conținut în curs de elaborare.

← Capitol anteriorGeometrie Analitică: Drepte în Planul Cartezian Capitol următor →Continuitate