pregatire-matematica.ro
Autentificare
01Diviziuni, norme, sume Riemann. Integrabilitatea unei funcții pe [a,b]. Interpretare geometrică02Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate03Formula Leibniz–Newton04Integrabilitatea funcțiilor continue. Teorema de medie. Existența primitivelor05Metode de calcul: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă06Calculul integralelor de forma ∫P(x)/Q(x)dx prin descompunere în fracții simple

Integrala Definită

01

Diviziuni, norme, sume Riemann. Integrabilitatea unei funcții pe [a,b]. Interpretare geometrică

Diviziune

O diviziune a intervalului [a,b][a,b] este un șir:

a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

Norma diviziunii este:

∥Δ∥=max⁡1≤i≤n(xi−xi−1)\|\Delta\|=\max_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})

Sume Riemann

Pentru puncte ξi∈[xi−1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i], suma Riemann este:

SΔ=∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1)S_\Delta=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})

Interpretare geometrică

Dacă f(x)≥0f(x)\ge0 pe [a,b][a,b], integrala definită reprezintă aria suprafeței cuprinse între grafic, axa OxOx și dreptele x=ax=a, x=bx=b.

02

Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate

Liniaritate

∫ab(αf(x)+βg(x)) dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx\int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx= \alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx

Aditivitate

Dacă c∈[a,b]c\in[a,b], atunci:

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

Monotonie

Dacă f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) pe [a,b][a,b], atunci:

∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx

În particular, dacă f(x)≥0f(x)\ge0, atunci:

∫abf(x) dx≥0\int_a^b f(x)\,dx\ge0

Schimbarea limitelor

∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx
03

Formula Leibniz–Newton

Formula Leibniz-Newton

Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b] și FF este o primitivă a lui ff, atunci:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Se mai notează:

∫abf(x) dx=F(x)∣ab\int_a^b f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_a^b

Pași de calcul

  1. se găsește o primitivă FF;
  2. se calculează F(b)F(b) și F(a)F(a);
  3. se face diferența F(b)−F(a)F(b)-F(a).
04

Integrabilitatea funcțiilor continue. Teorema de medie. Existența primitivelor

Funcții continue

Orice funcție continuă pe un interval închis [a,b][a,b] este integrabilă pe acel interval.

Teorema de medie

Dacă ff este continuă pe [a,b][a,b], atunci există c∈[a,b]c\in[a,b] astfel încât:

∫abf(x) dx=f(c)(b−a)\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a)

Valoarea:

1b−a∫abf(x) dx\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

se numește valoarea medie a funcției pe [a,b][a,b].

Existența primitivelor

Dacă ff este continuă pe un interval II, atunci ff admite primitive pe II.

05

Metode de calcul: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă

Integrarea prin părți

Dacă uu și vv sunt funcții derivabile, atunci:

∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx

Pentru integrala definită:

∫abu(x)v′(x) dx=u(x)v(x)∣ab−∫abu′(x)v(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\left.u(x)v(x)\right|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Schimbarea de variabilă

Dacă x=φ(t)x=\varphi(t), atunci:

∫f(x) dx=∫f(φ(t))φ′(t) dt\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt

Pentru integrala definită se schimbă și limitele de integrare.

06

Calculul integralelor de forma ∫P(x)/Q(x)dx prin descompunere în fracții simple

Funcții raționale

O integrală de forma:

∫P(x)Q(x) dx\int\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx

se calculează prin descompunerea fracției raționale în fracții simple, după factorizarea numitorului Q(x)Q(x).

Dacă gradul numărătorului este prea mare

Dacă deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\ge\deg Q, se face mai întâi împărțirea polinoamelor:

P(x)Q(x)=S(x)+R(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}

cu deg⁡R<deg⁡Q\deg R<\deg Q.

Forme uzuale

Pentru factor liniar simplu:

Ax−a\frac{A}{x-a}

Pentru factor liniar multiplu:

A1x−a+A2(x−a)2+⋯+Ak(x−a)k\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}

După descompunere, se integrează fiecare termen separat.

← Capitol anteriorPrimitive și Integrala Nedefinită