Elemente ale Geometriei în Spațiu

Puncte, drepte, plane

În spațiu lucrăm cu puncte, drepte și plane. Punctele se notează cu litere mari, dreptele cu litere mici, iar planele cu litere grecești sau prin trei puncte necoliniare.

Relații

• două puncte determină o dreaptă;
• trei puncte necoliniare determină un plan;
• o dreaptă poate fi inclusă într-un plan sau poate intersecta planul într-un punct;
• două plane pot fi secante sau paralele.

Exemplu

Dacă punctele $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare, ele determină planul $(ABC)$.

Corpuri geometrice

Corpurile geometrice studiate frecvent sunt prisma, piramida, paralelipipedul, cubul, cilindrul, conul și sfera.

Elemente

• vârfuri, muchii și fețe pentru poliedre;
• baze și fețe laterale pentru prismă și piramidă;
• rază, înălțime, generatoare pentru cilindru și con.

Desfășurări

Desfășurarea unui corp este figura plană obținută prin „desfacerea” suprafeței lui.

Exemple

Cubul are $6$ fețe pătrate, $12$ muchii și $8$ vârfuri.

Paralelipipedul dreptunghic are fețe dreptunghiulare.

Paralelism în spațiu

Două drepte pot fi paralele, secante sau necoplanare.

O dreaptă este paralelă cu un plan dacă nu are niciun punct comun cu planul.

Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun.

Trunchiuri

Trunchiul de piramidă sau de con se obține prin secționarea corpului cu un plan paralel cu baza și păstrarea părții dintre cele două baze.

De reținut

În probleme, planele paralele produc secțiuni asemenea cu baza și rapoarte constante între lungimi.

Perpendicularitate în spațiu

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează și formează un unghi drept.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.

Secțiuni

Secțiunea diagonală trece prin diagonale sau muchii opuse ale unui corp.

Secțiunea axială a cilindrului sau conului trece prin axa corpului.

Exemplu

Într-un cub, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.

Proiecții pe un plan

Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din punct pe plan.

Proiecția unui segment se obține proiectând capetele segmentului.

Unghiuri în spațiu

Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan.

Unghiul diedru este unghiul format de două semiplane cu aceeași muchie.

Unghiul a două plane se măsoară prin unghiul format de două drepte perpendiculare pe dreapta lor de intersecție, câte una în fiecare plan.

Teorema celor trei perpendiculare

Dacă o dreaptă dintr-un plan este perpendiculară pe proiecția unei drepte oblice pe acel plan, atunci este perpendiculară și pe dreapta oblică.

Reciproca se folosește în mod asemănător pentru a demonstra perpendicularități în spațiu.

Distanțe

Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan.

Distanța dintre două plane paralele este lungimea unui segment perpendicular comun.

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe dreaptă.