Derivabilitate

Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct. Funcții derivabile

Funcția $f$ este derivabilă în $a$ dacă există limita:

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

echivalent:

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Dacă $f$ este derivabilă în $a$ , ecuația tangentei la grafic în punctul $(a,f(a))$ este:

y-f(a)=f'(a)(x-a)

Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

(f+g)'=f'+g'

(fg)'=f'g+fg'

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\quad g\ne0

(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'

(x^n)'=nx^{n-1}

(e^x)'=e^x,quad (a^x)'=a^x\ln a

(\ln x)'=\frac1x,quad (\log_a x)'=\frac1{x\ln a}

(\sin x)'=\cos x,quad (\cos x)'=-\sin x

(\operatorname{tg}x)'=\frac1{\cos^2x},quad (\operatorname{ctg}x)'=-\frac1{\sin^2x}

Dacă $f$ are extrem local în $a$ și este derivabilă în $a$ , atunci:

f'(a)=0

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ , derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$ , atunci există $c\in(a,b)$ astfel încât:

f'(c)=0

Dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$ , atunci există $c\in(a,b)$ astfel încât:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Geometric, există o tangentă paralelă cu secanta determinată de capetele graficului.

Dacă $f'(x)>0$ pe un interval, atunci $f$ este strict crescătoare pe acel interval.

Dacă $f'(x)<0$ pe un interval, atunci $f$ este strict descrescătoare pe acel interval.

Punctele în care $f'(x)=0$ sau derivata nu există sunt puncte critice.

Dacă derivata își schimbă semnul din $+$ în $-$ , funcția are maxim local.

Dacă derivata își schimbă semnul din $-$ în $+$ , funcția are minim local.

Pentru studiul variației se alcătuiește tabelul de semn al derivatei întâi.

Dacă $f''(x)>0$ pe un interval, atunci graficul este convex pe acel interval.

Dacă $f''(x)<0$ pe un interval, atunci graficul este concav pe acel interval.

Un punct de inflexiune este un punct în care graficul își schimbă convexitatea.

De obicei, candidații se caută din ecuația:

f''(x)=0

apoi se verifică schimbarea semnului derivatei a doua.

Derivata a doua ajută la completarea studiului graficului și la stabilirea formei acestuia.

Pentru formele nedeterminate:

\frac00\quad\text{și}\quad\frac{\infty}{\infty}

dacă $f$ și $g$ sunt derivabile, $g'(x)\ne0$ în vecinătatea punctului și limita raportului derivatelor există, atunci:

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}

Regula se aplică doar după verificarea formei nedeterminate.

Pentru alte forme, expresia se transformă mai întâi într-un raport de tip $\frac00$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ .